Les booléens
Introduction : Le traitement de l'information repose sur la logique binaire. Une variable qui ne peut prendre que deux valeurs est appelée une variable booléenne.
Définition : Valeurs booléennes
En informatique, on utilise les valeurs 0 (pour Faux) et 1 (pour Vrai).
Ces valeurs sont à la base de toutes les décisions prises par un processeur.
En informatique, on utilise les valeurs 0 (pour Faux) et 1 (pour Vrai).
Ces valeurs sont à la base de toutes les décisions prises par un processeur.
I. Les opérateurs booléens fondamentaux
1. L'opérateur NOT (Non) : Il inverse la valeur d'entrée.
| Entrée : A | Sortie : not A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
2. L'opérateur AND (ET) : Le résultat est 1 seulement si les deux entrées valent 1.
| A | B | A AND B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
3. L'opérateur OR (OU) : Le résultat est 1 si au moins une des entrées vaut 1.
| A | B | A OR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
4. L'opérateur XOR (eXclusive OR) : Le résultat est 1 si et seulement si une des entrées vaut 1.
| A | B | A XOR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
II. Expressions booléennes et tables de vérité
Une expression booléenne combine des variables et des opérateurs. Pour l'étudier, on dresse sa table de vérité en listant toutes les combinaisons possibles.
Exemple : Dresser la table de (A or (not B))
On décompose l'expression étape par étape :
On décompose l'expression étape par étape :
| A | B | not B | A or (not B) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
III. Application : L'addition binaire
Les opérateurs booléens permettent de réaliser des additions de nombres binaires. Pour additionner deux bits A et B :
- Le bit de poids faible (Somme S) correspond à : A xor B.
- Le bit de retenue (Retenue R) correspond à : A and B.
Exemple : Addition de deux bits (1 + 1)
Calculons 1 + 1 :
Le résultat est 10 en binaire (2 en décimal).
Calculons 1 + 1 :
- Entrées : A = 1, B = 1
- Somme S : 1 xor 1 = 0.
- Retenue R : 1 and 1 = 1.
Le résultat est 10 en binaire (2 en décimal).
IV. Caractère séquentiel des opérateurs
En programmation, les opérateurs and et or sont évalués de manière "séquentielle" ou "paresseuse" (short-circuit evaluation).
Définition : Évaluation séquentielle
Si le résultat final peut être déduit dès l'examen de la première variable, la seconde variable n'est pas examinée par l'ordinateur.
Si le résultat final peut être déduit dès l'examen de la première variable, la seconde variable n'est pas examinée par l'ordinateur.
Exemple : Comportement séquentiel
Dans A and B, si A vaut 0, le résultat sera forcément 0. L'ordinateur n'évalue pas B.
Dans A or B, si A vaut 1, le résultat sera forcément 1. La valeur de B est ignorée.
Dans A and B, si A vaut 0, le résultat sera forcément 0. L'ordinateur n'évalue pas B.
Dans A or B, si A vaut 1, le résultat sera forcément 1. La valeur de B est ignorée.