Leçons du chapitre

Écriture d’un entier positif dans une base

I. Introduction : Le Principe des Bases Numériques

A. Le Système Décimal (Base 10) : Décomposition Positionnelle

Le système décimal utilise 10 chiffres (0-9).
La valeur d'un nombre est donnée par la somme des chiffres multipliés par la puissance de 10 correspondante à leur position.

Formule générale : (ck-1ck-2 ... c0) 10 = c k-1 × 10k-1 + ... + c1 × 101 + c0 × 100

B. Les Bases Informatiques Clés

L'informatique utilise principalement les bases liées à 2: Binaire (b=2), et Hexadécimal (b=16).

Base (b)NomChiffresPoids de position
2Binaire0 , 1Puissance de 2
10Décimal0 , 9Puissance de 10
16Hexadécimal0-9 , A-FPuissance de 16

(Rappel : A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)

II. Conversion Binaire <-> Décimal (2<->10)

A. De Binaire vers Décimal (2 -> 10)

On utilise la décomposition positionnelle par les puissances de 2 (Méthode vue précédemment).

Exemple :
(1101)2 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = (13)10

B. De Décimal vers Binaire (10 -> 2)

On utilise les divisions successives par 2.

Exemple : Convertir (13)10
image 13/2

Résultat : 1101

III. Conversion Hexadécimal <-> Binaire (16 <-> 2)

C'est la conversion la plus rapide en informatique car 24 = 16. Un chiffre hexadécimal correspond exactement à un groupe de quatre bits (quartet ou nibble).

A. De Hexadécimal vers Binaire (16 -> 2)

On remplace chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire sur quatre bits.

Exemple :
B = (11)10 → (1011)2
9 = (9)10 → (1001)2

Résultat : B9 = (1011 1001)2

B. De Binaire vers Hexadécimal (2 ->16)

  1. On divise le nombre binaire en groupes de quatre bits à partir de la droite. (Ajouter des zéros non significatifs à gauche si nécessaire).
  2. On convertit chaque quartet en son chiffre hexadécimal équivalent.

Exemple :
Convertir (101 0110)2

  1. Grouper par 4 (en partant de la droite) : 0101 | 0110 (Le premier groupe a été complété par un zéro à gauche).
  2. Convertir :
    • (0101)2 = 5
    • (0110)2 = 6

Résultat : (56)16

IV. Conversion Hexadécimal <-> Décimal (16 <-> 10)

A. De Hexadécimal vers Décimal (16 -> 10)

On utilise la décomposition positionnelle par les puissances de 16.

Exemple : Convertir (1A)16 = 1 x 161 +A x 160 = 1 x 16 + 10 x 1 = 16 + 10 = (26)10

B. De Décimal vers Hexadécimal (10 -> 16)

On utilise les divisions successives par 16.

Exemple :
Convertir (250)10 en base 16
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